Calcule:
lim x 0^+(1x-1e^x-1) ;

Passo 1

O enunciado pede o valor de
limxto0^+l(1x-1e^x-1r)
Como ambas as parcelas divergem quando xto0, a estratégia é usar a expansão em série de Taylor de e^x para identificar o termo finito resultante.

Passo 2

Escrevemos a expansão de e^x-1 em torno de x=0 até a ordem x^3:
e^x-1 = x + x^22 + x^36 + O(x^4)

Passo 3

Para inverter essa série, note que
1e^x-1 = 1x;11 + x2 + x^26 + O(x^3)
Usando a expansão tfrac11+u=1 - u + u^2 + O(u^3) com u=tfracx2+tfracx^26+O(x^3), obtemos
1e^x-1 = 1xl(1 - x2 + x^212 + O(x^3)r) = 1x - 12 + x12 + O(x^2)

Passo 4

Substituindo na expressão original:
1x - 1e^x-1 = 1x - l(1x - 12 + x12 + O(x^2)r) = 12 - x12 + O(x^2)

Passo 5

Como xto0^+, os termos em x e de ordem superior vão a zero, restando
limxto0^+l(1x-1e^x-1r) = 12

Resposta

12

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