3.4B Em cada caso determine o intervalo de convergência da série de potências:
sumn=1^infty (3-x)^n-1raizn

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências
sumn=1^infty (3-x)^n-1raizn
O conteúdo principal aqui é determinar o raio de convergência usando o Teste da raiz ou o Teste da razão, e depois investigar a convergência nas extremidades do intervalo obtido.

Passo 2

Aplicamos o Teste da raiz: para
an(x)=(3-x)^n-1raizn,
calculamos
limsupntoinftyl|an(x)r|^1/n =limntoinfty|3-x|^(n-1)/nn^1/(2n) =|3-x|
O teste diz que a série converge se |3-x|<1 e diverge se |3-x|>1.

Passo 3

Da condição |3-x|<1 obtemos
-1<3-x<1 Longrightarrow 2<x<4
Portanto, o raio de convergência é R=1 e o intervalo central é (2,4).

Passo 4

Analisamos x=2. Nesse caso 3-x=1 e a série fica
sumn=1^infty1^,n-1raizn =sumn=1^infty1raizn
Como isso é uma série tipo sum n^-1/2 com expoente 1/2<=1, ela diverge (série de p com p=1/2).

Passo 5

Analisamos x=4. Aqui 3-x=-1 e a série torna-se
sumn=1^infty(-1)^n-1raizn
Esse é um série alternante cujos termos l|tfrac(-1)^n-1raiznr|=1/raizn decrescem a zero. Pelo Teste de Leibniz, ela converge condicionadamente.

Resposta

O intervalo de convergência é
boxed(2,4]

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