Calcule
lim x 0^+(1x^2-1sin x);

Passo 1

O enunciado pede calcular
limxto0^+l(1x^2-1sin xr).
Perceba que, isoladamente, 1x^2to+infty e tfrac1sin xto+infty, gerando uma forma de “ +infty-+infty”. Para destrinchar isso, vamos usar a expansão em série de Taylor de sin x perto de 0.

Passo 2

A expansão de Taylor de sin x até ordem 3 é
sin x = x - x^36 + o(x^3),
quando xto0.

Passo 3

Agora invertemos essa expansão para achar 1/sin x:
1sin x = 1x - tfracx^36 + o(x^3) = 1x,11 - tfracx^26 + o(x^2) = 1xl(1 + x^26 + o(x^2)r) = 1x + x6 + o(x)
Substituindo no limite, obtemos
1x^2 - 1sin x = 1x^2 - l(1x + x6 + o(x)r) = 1x^2 - 1x - x6 + o(x)

Passo 4

Quando xto0^+, o termo 1x^2 domina totalmente, crescendo sem limite, enquanto os demais são infinitamente menores. Portanto
limxto0^+l(1x^2-1sin xr)=+infty

Resposta

+infty

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