Calcule lim x 0 1x^2 integralx^x^2 e^t^2 sen t d t.

Passo 1

A questão pede o cálculo de limxto01x^2integralx^x^2e^t^2sin t,dt. O conteúdo envolve o Teorema Fundamental do Cálculo, séries de Taylor para funções lisas e limites.

Passo 2

Para aproximar o integrando quando t é pequeno, usamos Taylor em bloco:
e^t^2=1+t^2+O(t^4), sin t=t-t^36+O(t^5)
Multiplicando,
e^t^2sin t=(1+t^2+O(t^4))l(t-tfract^36+O(t^5)r)=t+56t^3+O(t^5)

Passo 3

Agora vamos integrar de x^2 a x e depois inverter o sinal, pois integralx^x^2= -integralx^2^x.
$$\int_{x2}x(t+\tfrac{5}{6}t3+O(t5)),dt=\left[\frac{t2}{2}+\frac{5}{24}t4+O(t6)\right]_{t=x2}^{t=x}
=\frac{x2}{2}-\frac{x4}{2}+\frac{5x4}{24}+O(x6)=\frac{x2}{2}+O(x4). integralx^2^x(t+tfrac56t^3+O(t^5)),dt=[t^22+524t^4+O(t^6)]t=x^2^t=x =x^22-x^42+5x^424+O(x^6)=x^22+O(x^4)ã\int_x{x2}e{t2}\sin t,dt=-\frac{x2}{2}+O(x4).$$

Passo 4

Por fim, dividimos por x^2 e fazemos xto0:
1x^2integralx^x^2e^t^2sin t,dt=-12+O(x^2)to-tfrac12

Resposta

-tfrac12

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