Calcule
.
Passo 1
A questão pede o cálculo de
. O conteúdo envolve o Teorema Fundamental do Cálculo, séries de Taylor para funções lisas e limites.
Passo 2
Para aproximar o integrando quando
é pequeno, usamos Taylor em bloco:
Multiplicando,
Passo 3
Agora vamos integrar de
a
e depois inverter o sinal, pois
.
$$\int_{x2}x(t+\tfrac{5}{6}t3+O(t5)),dt=\left[\frac{t2}{2}+\frac{5}{24}t4+O(t6)\right]_{t=x2}^{t=x}
=\frac{x2}{2}-\frac{x4}{2}+\frac{5x4}{24}+O(x6)=\frac{x2}{2}+O(x4).
\int_x{x2}e{t2}\sin t,dt=-\frac{x2}{2}+O(x4).$$
Passo 4
Por fim, dividimos por
e fazemos
: