Seja g a função definida por g(x)=integralx^2^k ln x e^-t^2 d t. Determine k sabendo que g^prime(1)=0.

Passo 1

A gente quer achar a derivada de uma integral cujos limites dependem de x. O enunciado é: “Seja g(x)=integralx^2^kln x e^-t^2,dt. Determine k sabendo que g^prime(1)=0”. O conteúdo aqui é a Regra de Leibniz para derivar integrais com limites variáveis e a Regra da Cadeia.

Passo 2

A Regra de Leibniz diz que, se G(x)=integrala(x)^b(x) f(t),dt, então
G'(x)=b'(x),f(b(x))-a'(x),f(a(x))
No nosso caso temos
a(x)=x^2, b(x)=kln x, f(t)=e^-t^2

Passo 3

Agora vamos calcular as derivadas de a(x) e de b(x):
a'(x)=2x, b'(x)=ddx(kln x)=kx
Substituindo na Regra de Leibniz, obtemos
g'(x)=kxe^-(kln x)^2-2x,e^-(x^2)^2

Passo 4

Para encontrar k, avaliamos em x=1. Como ln1=0 e 1^2=1, temos
g'(1)=k1e^-k^2cdot0^2-2cdot1,e^-1^2=k-2e^-1
Exigindo g'(1)=0, vem
k-2e^-1=0 Longrightarrow k=2e^-1

Resposta

k=tfrac2e

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