Seja F definida por F(x)=integral1^x f(t) d t, com f(t)=integral1^t^2 1+u^4u d u. Calcule F^prime prime(2).

Passo 1

O enunciado define uma função F por integração de f e f por integração de uma função em u. O conteúdo envolve o Teorema Fundamental do Cálculo e a Regra da Cadeia para derivadas de integrais com limite variável. Precisaremos usar que F'(x)=f(x) e depois calcular F''(x)=f'(x).

Passo 2

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, temos F'(x)=f(x). Ou seja,
F'(x)=integral1^x^21+u^4u,du

Passo 3

Para obter F''(x), aplicamos a Regra da Cadeia a essa integral com limite superior x^2. Se definirmos g(u)=1+u^4u, então
f(x)=integral1^x^2g(u),duimplies f'(x)=g(x^2)cdotddx(x^2)=1+(x^2)^4x^2cdot 2x

Passo 4

Agora simplificamos:
f'(x)=2xcdot1+x^8x^2=2,1+x^8x

Passo 5

Portanto F''(x)=f'(x)=2,(1+x^8)/x. Para terminar, basta avaliar em x=2.

Resposta

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