Calcule:
lim x 3 x^2+2 x-15x^2-9;

Passo 1

A questão pede pra calcular o limite de uma função racional quando x se aproxima de 3. O conteúdo aqui é limites de funções, e vamos precisar usar fatoração de polinômios e a propriedade de cancelamento de fatores para remover indeterminações.

Passo 2

Se a gente tenta substituir x=3 direto na expressão x^2+2x-15x^2-9, dá
3^2+2cdot3-153^2-9 = 9+6-159-9 = 00,
que é uma forma indeterminada. Isso indica que temos que manipular a expressão antes de avaliar o limite.

Passo 3

Vamos fatorar numerador e denominador:
$$
x^{2}+2x-15 = (x+5)(x-3),$$
x^2+2x-15 = (x+5)(x-3),

Passo 4

Logo, para xneq3 podemos cancelar o fator (x-3):
x^2+2x-15x^2-9 = (x+5)(x-3)(x-3)(x+3) = x+5x+3

Passo 5

Agora aplicamos o limite na expressão simplificada sem indeterminação:
limxto3 x+5x+3 = 3+53+3 = 86 = 43

Resposta

4/3

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