Calcule.
lim x 0 x^2sen x

Passo 1

Beleza, o enunciado pede:
Calcular
Isso cai no conteúdo de “limites de funções” e, em específico, a gente vai topar com uma forma indeterminada 0/0. Para resolver, vamos usar a regra de L’Hôpital (ou, se preferir, a aproximação de série de ), mas aqui vou mostrar pela L’Hôpital, porque é direto e ensina bem a teoria.

Passo 2

Primeiro, a gente avalia diretamente a expressão quando x to 0:
  • No numerador, x^2 to 0^2 = 0.
  • No denominador, .
    Então fica sen x to sen(0) = 0, que é uma forma indeterminada.
Teoria rápida:
Quando uma expressão tfrac00 tende a f(x)/g(x) ou 0/0, podemos usar a regra de L’Hôpital, que diz que
infty/infty
desde que esse novo limite exista ou seja limxto a f(x)g(x) = limxto a f'(x)g'(x), .

Passo 3

Aplicando L’Hôpital, a gente deriva numerador e denominador separadamente:
  • Derivada de f(x)=x^2 é f'(x)=2x.
  • Derivada de é g(x)=sen x.
Logo, nosso limite vira

Passo 4

Agora, reavaliamos em xto0:
  • No numerador 2xto 2cdot0=0.
  • No denominador cos xto cos(0)=1.
Então
limxto 0 2xcos x = 01 = 0

Resposta

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