Calcule.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede:
Calcular
Calcular
Isso cai no conteúdo de “limites de funções” e, em específico, a gente vai topar com uma forma indeterminada 0/0. Para resolver, vamos usar a regra de L’Hôpital (ou, se preferir, a aproximação de série de ), mas aqui vou mostrar pela L’Hôpital, porque é direto e ensina bem a teoria.
Passo 2
Primeiro, a gente avalia diretamente a expressão quando
:
- No numerador,
. - No denominador, .
Então fica, que é uma forma indeterminada.
Teoria rápida:
Quando uma expressão tende a
ou
, podemos usar a regra de L’Hôpital, que diz que
Quando uma expressão
desde que esse novo limite exista ou seja
.
Passo 3
Aplicando L’Hôpital, a gente deriva numerador e denominador separadamente:
- Derivada de
é . - Derivada de é
.
Logo, nosso limite vira
Passo 4
Agora, reavaliamos em
:
- No numerador
. - No denominador
.
Então