Calcule:
Passo 1
Então, temos que calcular o limite quando
se aproxima de 0 da função
. Vamos usar conceitos de limites e regras de derivação para resolver isso. Precisaremos entender como o seno se comporta perto de 0 e, possivelmente, aplicar a regra de L’Hôpital.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar substituir
diretamente na função para ver se conseguimos resolver o limite assim mesmo. Substituindo, temos:
Esse resultado é indefinido, ou seja, não conseguimos determinar o limite dessa forma. Quando isso ocorre, podemos usar a regra de L’Hôpital.
Passo 3
A regra de L’Hôpital diz que se temos um limite no formato
ou
, podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e, então, calcular o limite dos novos termos. No nosso caso, temos
, então vamos aplicar a regra.
Passo 4
Vamos derivar o numerador e o denominador:
- Derivada do numerador
em relação a é . - Derivada do denominador
em relação a é .
Agora, a nossa função fica:
Passo 5
Agora, vamos tentar substituir
nessa nova função:
Resposta
Portanto, o limite é
.