2,0 Determine a equação do plano tangente ao gráfico da função f(x, y) = 2*x*y^2 no ponto (0, 1, f(0, 1)).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação do plano tangente ao gráfico da função no ponto . Para isso, vamos usar cálculo diferencial, especificamente as derivadas parciais, que nos ajudam a entender como a função muda em relação a cada variável.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor de para encontrar as coordenadas completas do ponto onde vamos tangenciar o plano. Substituindo e na função:
Então, o ponto é .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e . As derivadas parciais nos dão a inclinação do plano em cada uma das direções.
Primeiro, a derivada parcial em relação a :
Agora, a derivada parcial em relação a :

Passo 4

Vamos calcular o valor dessas derivadas no ponto .
Para :
E para :

Passo 5

Com essas derivadas, podemos usar a fórmula da equação do plano tangente:
Substituindo os valores que encontramos:

Resposta

A equação do plano tangente é .

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