Determine a equação do plano tangente ao gráfico da função
no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação do plano tangente ao gráfico da função
no ponto
. Para isso, vamos usar cálculo diferencial, especificamente as derivadas parciais, que nos ajudam a entender como a função muda em relação a cada variável.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o valor de
para encontrar as coordenadas completas do ponto onde vamos tangenciar o plano. Substituindo
e
na função:
Então, o ponto é
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
. As derivadas parciais nos dão a inclinação do plano em cada uma das direções.
Primeiro, a derivada parcial em relação a
:
Agora, a derivada parcial em relação a
:
Passo 4
Vamos calcular o valor dessas derivadas no ponto
.
Para
:
E para
:
Passo 5
Com essas derivadas, podemos usar a fórmula da equação do plano tangente:
Substituindo os valores que encontramos:
Resposta
A equação do plano tangente é
.