Calcule.
lim x -1 x^3+1x^2-1

Passo 1

Neste exercício vamos calcular o limite limxto -1 x^3+1x^2-1. O conteúdo envolvido é limites de funções e fatoração de polinômios, especialmente soma de cubos e diferença de quadrados.

Passo 2

Ao substituir x=-1 diretamente, o numerador e o denominador ficam zero, ou seja, temos uma indeterminação do tipo 00. Para resolver isso, precisamos fatorar as expressões que aparecem no numerador e no denominador.

Passo 3

Usamos a fatoração de soma de cubos para o numerador e diferença de quadrados para o denominador. Fatorializamos:
x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 - x + 1)
x^2 - 1 = (x + 1)(x - 1)

Passo 4

Depois de fatorar, podemos cancelar o fator comum (x+1) (válido para xneq -1), o que simplifica a expressão para
x^3+1x^2-1 = x^2 - x + 1x - 1

Passo 5

Agora que temos a forma simplificada, substituímos x = -1 diretamente na nova expressão. No numerador: (-1)^2 - (-1) + 1 = 1 + 1 + 1 = 3. No denominador: -1 - 1 = -2. Portanto, o valor do limite é 3-2 = -32.

Resposta

-\frac{3}{2}

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