QUESTĀO 2 (1.5 pontos) Calcule
lim x 0 e^sen(x)-cos (x)x

Passo 1

Resumindo o enunciado, queremos calcular o limite
limx to 0 e^sin(x) - cos(x)x
Este é um caso de indeterminação do tipo 0/0, então podemos usar a regra de l’Hôpital, que troca o limite de f/g pelo limite de f’/g’ quando ambos são 0/0.

Passo 2

Verificamos a indeterminação substituindo x=0 no numerador e no denominador:
No numerador temos
e^sin(0) - cos(0) = 1 - 1 = 0,
e o denominador é 0. Logo, há indeterminação 0/0.

Passo 3

Aplicando a regra de l’Hôpital, derivamos numerador e denominador:
f'(x) = ddxl(e^sin xr) - ddxl(cos xr) = e^sin xcos x + sin x,
g'(x) = ddx(x) = 1

Passo 4

O limite original passa a ser
limxto0 e^sin xcos x + sin x1
Substituindo x=0 obtemos
e^0cdot1 + 0 = 1

Resposta

1

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