QUESTĀO 3 (1.5 pontos) Considere a função f(x)=raizx^3-x^2+1.
(a) Calcule f^prime(x).
(b) Linearize f a partir do ponto x0=1.
© Use a linearização encontrada para calcular um valor aproximado de f(1,02).

Passo 1

O enunciado pede para derivar e linearizar a função f(x)=√(x³−x²+1) em torno de x₀=1 e usar essa linearização para estimar f(1,02). Vamos precisar de derivada via regra da cadeia e da fórmula de linearização (aproximação de Taylor de 1º grau).

Passo 2

Para calcular f′(x) usamos regra da cadeia. Escrevendo f(x) em forma de potência: f(x)=(x³−x²+1)^{1/2}. Assim temos:
f'(x)=12,(x^3-x^2+1)^-1/2cdot(3x^2-2x)=3x^2-2x2raizx^3-x^2+1

Passo 3

Agora avaliamos em x₀=1. Primeiro f(1)=√(1−1+1)=1. Em seguida f′(1)=(3·1²−2·1)/(2·1)=1/2.

Passo 4

Montamos a linearização L(x)=f(1)+f′(1)(x−1). Logo:
L(x)=1+12,(x-1)

Passo 5

Para aproximar f(1,02) usamos L(1,02): L(1,02)=1+½·(1,02−1)=1+½·0,02=1+0,01=1,01.

Resposta

(a) f′(x)= 3x^2-2x2raizx^3-x^2+1
(b) L(x)=1+\frac12(x-1)
© f(1,02)≈1,01

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