QUESTĀO 3 (1.5 pontos) Considere a função
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(a) Calcule
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(b) Linearize
a partir do ponto
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© Use a linearização encontrada para calcular um valor aproximado de
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(a) Calcule
(b) Linearize
© Use a linearização encontrada para calcular um valor aproximado de
Passo 1
O enunciado pede para derivar e linearizar a função f(x)=√(x³−x²+1) em torno de x₀=1 e usar essa linearização para estimar f(1,02). Vamos precisar de derivada via regra da cadeia e da fórmula de linearização (aproximação de Taylor de 1º grau).
Passo 2
Para calcular f′(x) usamos regra da cadeia. Escrevendo f(x) em forma de potência: f(x)=(x³−x²+1)^{1/2}. Assim temos:
Passo 3
Agora avaliamos em x₀=1. Primeiro f(1)=√(1−1+1)=1. Em seguida f′(1)=(3·1²−2·1)/(2·1)=1/2.
Passo 4
Montamos a linearização L(x)=f(1)+f′(1)(x−1). Logo:
Passo 5
Para aproximar f(1,02) usamos L(1,02): L(1,02)=1+½·(1,02−1)=1+½·0,02=1+0,01=1,01.
Resposta
(a) f′(x)=
(b) L(x)=1+\frac12(x-1)
© f(1,02)≈1,01
(b) L(x)=1+\frac12(x-1)
© f(1,02)≈1,01