Use o teorema de comparação para mostrar que a integral
é divergente.
Dica: Compare a função
.
Dica: Compare a função
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente usar o teorema de comparação para mostrar que a integral
é divergente. O conteúdo aqui envolve cálculo de integrais impróprias e o teorema de comparação. Para resolver, vamos comparar a função
com
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o teorema de comparação. Ele diz que se
para todo
no intervalo de integração e a integral de
diverge, então a integral de
também diverge. Basicamente, se a função que estamos integrando é menor ou igual a uma função que sabemos que dá infinidade, então a nossa também dá.
Passo 3
Agora, vamos comparar as duas funções:
e
. Queremos ver se
para
. Vamos analisar isso:
Para verificar essa desigualdade, invertemos ambos os lados (lembrando que ao inverter desigualdades com frações positivas, a direção muda):
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Simplificando:
Isso é sempre verdadeiro, então nossa desigualdade inicial está correta:
para
.
Passo 4
Sabemos que a integral
é divergente, pois é uma integral p onde
, e para
, a integral de $ \frac{1}{x^p} $ de uma constante até o infinito não converge. Então, como
e a integral de
diverge, pelo teorema de comparação, a integral de
também diverge.
Resposta
Portanto, usando o teorema de comparação, mostramos que a integral
é divergente.