Use o teorema de comparação para mostrar que a integral
integral5^+infty 1raizx^2-16 d x
é divergente.
Dica: Compare a função 1raizx^2-16 com 1x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente usar o teorema de comparação para mostrar que a integral integral5^+infty 1raizx^2-16 , dx é divergente. O conteúdo aqui envolve cálculo de integrais impróprias e o teorema de comparação. Para resolver, vamos comparar a função 1raizx^2-16 com 1x.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o teorema de comparação. Ele diz que se 0 <= f(x) <= g(x) para todo x no intervalo de integração e a integral de g(x) diverge, então a integral de f(x) também diverge. Basicamente, se a função que estamos integrando é menor ou igual a uma função que sabemos que dá infinidade, então a nossa também dá.

Passo 3

Agora, vamos comparar as duas funções: f(x) = 1raizx^2-16 e g(x) = 1x. Queremos ver se f(x) >= g(x) para x >= 5. Vamos analisar isso:
1raizx^2-16 >= 1x
Para verificar essa desigualdade, invertemos ambos os lados (lembrando que ao inverter desigualdades com frações positivas, a direção muda):
raizx^2-16 <= x
Elevando ambos os lados ao quadrado:
x^2 - 16 <= x^2
Simplificando:
-16 <= 0
Isso é sempre verdadeiro, então nossa desigualdade inicial está correta: f(x) >= g(x) para x >= 5.

Passo 4

Sabemos que a integral integral5^+infty 1x , dx é divergente, pois é uma integral p onde p = 1, e para p <= 1, a integral de $ \frac{1}{x^p} $ de uma constante até o infinito não converge. Então, como 1x^p e a integral de f(x) >= g(x) diverge, pelo teorema de comparação, a integral de g(x) também diverge.

Resposta

Portanto, usando o teorema de comparação, mostramos que a integral integral5^+infty 1raizx^2-16 , dx é divergente.

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