Calcule:
lim x a e^x-e^ax-a

Passo 1

O enunciado pede
limxto ae^x-e^ax-a
Este limite tem a forma 00 quando xto a, e é exatamente a definição da derivada de f(x)=e^x em x=a. Podemos resolver usando o Regra de L’Hôpital ou reconhecer que esse limite é f'(a).

Passo 2

Verificamos que ao substituir x=a no numerador e no denominador temos
e^a-e^a=0 e a-a=0,
logo a expressão é do tipo tfrac00, permitindo aplicar L’Hôpital.

Passo 3

Pela Regra de L’Hôpital, derivamos numerador e denominador em relação a x:
numerador to ddxl(e^x-e^ar)=e^x-0=e^x,
denominador to ddx(x-a)=1.
O limite passa a ser
limxto ae^x1 =limxto ae^x =e^a

Resposta

e^a

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