Resolva as equações abaixo fazendo a substituição v=y^prime.
(1+x^2) y^prime prime+2 x y^prime=2 x^-3

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de segunda ordem
(1+x^2),y'' + 2x,y' = 2x^-3
usando a substituição v = y'. O conteúdo é redução de ordem e solução de uma equação linear de primeira ordem em v.

Passo 2

Com v=y' temos v'=y'', então a equação vira
(1+x^2),v' + 2x,v = 2x^-3
Isso é uma equação linear em v da forma
v' + 2x1+x^2,v = 2x^-31+x^2

Passo 3

O fator integrante é
mu(x) = exp!l(integral 2x1+x^2,dxr) = exp!l(ln(1+x^2)r) = 1+x^2
Multiplicando a equação por mu(x) obtemos
ddxl((1+x^2),vr) = 2x^-3

Passo 4

Integramos em x:
(1+x^2),v = integral 2x^-3,dx = -x^-2 + C1
Logo
v = y' = -x^-2 + C11+x^2 = C11+x^2 - x^-21+x^2

Passo 5

Agora integramos y' = v. Escrevemos
integral x^-21+x^2,dx = integrall(1x^2 - 11+x^2r)dx = -1x - arctan x + C
Assim
y = C1integraldx1+x^2 - integralx^-21+x^2,dx + C2 = C1arctan x + 1x + arctan x + C2
Reagrupando constantes definimos A = C1+1 e B=C2.

Resposta

y(x) = A,arctan x + 1x + B,
com A e B constantes arbitrárias.

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