Calcule
lim x 0^-(1-cos x)^1x

Passo 1

O enunciado pede para calcular limxto0^-(1-cos x)^1/x. O tópico é limites de funções que geram forma indeterminada, e vamos usar propriedades de logaritmos e exponenciais para resolver.

Passo 2

Reescrevemos a expressão na forma de exponencial: vamos aplicar ln dentro do limite e depois usar a inversa. Assim,
limxto0^-(1-cos x)^1/x=expl(limxto0^-ln(1-cos x)xr)

Passo 3

Para avaliar ln(1-cos x) quando xto0, usamos a expansão de Taylor de cos x:
cos x=1-x^22+o(x^2)Longrightarrow1-cos x=x^22+o(x^2)

Passo 4

Logo,
ln(1-cos x)=lnl(tfracx^22(1+o(1))r)=lnl(tfracx^22r)+o(1)=2ln|x|+lntfrac12+o(1)

Passo 5

Dividindo por x:
ln(1-cos x)x=2ln|x|x+ln(1/2)x+o(1)

Passo 6

Quando xto0^-, temos ln|x|to-infty e xto0^-, então cada termo tfracln|x|x e tfracln(1/2)x tende a +infty. Portanto
limxto0^-ln(1-cos x)x=+infty

Passo 7

Assim,
limxto0^-(1-cos x)^1/x=exp(+infty)=+infty

Resposta

(+\infty)

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