Calcule a derivada das funções abaixo usando a Regra da Cadeia.
Passo 1
A questão pede para calcular a derivada de f(x) = √[3]{x² + 2} usando a Regra da Cadeia. O conteúdo aqui é derivação de funções compostas, e vamos precisar identificar a função externa g(u) = u^(1/3) e a função interna u(x) = x² + 2, além de saber a derivada de potências e de x² + 2.
Passo 2
Vamos chamar u(x) = x² + 2 e g(u) = u^(1/3), de modo que f(x) = g(u(x)). Pela Regra da Cadeia, f’(x) = g’(u(x)) · u’(x).
Derivando a função externa g(u) = u^(1/3). A derivada de u^n em relação a u é n·u^(n−1). Logo, g’(u) = (1/3)·u^(−2/3).
Derivando a função interna u(x) = x² + 2. A derivada de x² é 2x e de constante é zero. Portanto, u’(x) = 2x.
Derivando a função externa g(u) = u^(1/3). A derivada de u^n em relação a u é n·u^(n−1). Logo, g’(u) = (1/3)·u^(−2/3).
Derivando a função interna u(x) = x² + 2. A derivada de x² é 2x e de constante é zero. Portanto, u’(x) = 2x.
Passo 3
Agora aplicamos a Regra da Cadeia:
Podemos simplificar o fator 2/3 e reescrever a potência negativa no denominador: f’(x) = \dfrac{2x}{3 (x^2 + 2)^{2/3}}.