Calcule lim x 0 1-cos x^2x^4

Passo 1

Beleza, vamos calcular o limite limx to 0 1 - cos x^2x^4. Esse exercício está dentro da matéria de Cálculo, mais especificamente no estudo de limites envolvendo funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função cosseno se comporta perto de zero, usando a expansão em série de Taylor.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da expansão em série de Taylor para a função cosseno em torno de zero:
cos y = 1 - y^22 + y^424 - cdots
Aqui, y é uma variável que vamos substituir pelo que temos no nosso problema.

Passo 3

No nosso caso, temos y = x^2. Então, substituindo na expansão:
cos x^2 = 1 - (x^2)^22 + (x^2)^424 - cdots = 1 - x^42 + x^824 - cdots

Passo 4

Agora, vamos calcular 1 - cos x^2:
1 - cos x^2 = 1 - (1 - x^42 + x^824 - cdots) = x^42 - x^824 + cdots

Passo 5

Substituindo isso no limite original:
limx to 0 1 - cos x^2x^4 = limx to 0 x^42 - x^824 + cdotsx^4 = limx to 0 (12 - x^424 + cdots)
Quando x se aproxima de zero, os termos com x^4 e superiores tendem a zero, então:
limx to 0 (12 - x^424 + cdots) = 12

Resposta

O limite é 12.

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