Encontre a representação integral de Fourier das funções dadas (em todos os casos,
).
Passo 1
A questão pede a representação integral de Fourier de
Conteúdo: transformada de Fourier e sua inversão. Vamos usar a definição
$$
F(\omega)=\int_{-\infty}{\infty}f(x)e{-i\omega x},dx,
f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}{\infty}F(\omega)e{i\omega x},d\omega.
$$
Passo 2
Como
é função par, simplificamos a transformada por
Passo 3
Precisamos calcular
e
Para
fazemos integração por partes: tomando
e
, achamos
Passo 4
Logo
Multiplicando por 2, obtemos
Passo 5
Finalmente, pela fórmula de inversão da transformada de Fourier, temos a representação integral