Encontre a representação integral de Fourier das funções dadas (em todos os casos, a>0 ).
f(x)=cl1-x^2 & se -1á

Passo 1

A questão pede a representação integral de Fourier de
f(x)=1-x^2,&|x|<1,0,&caso contrárioá
Conteúdo: transformada de Fourier e sua inversão. Vamos usar a definição
$$
F(\omega)=\int_{-\infty}{\infty}f(x)e{-i\omega x},dx,
F(omega)=integral-infty^inftyf(x)e^-iomega x,dx, óã
f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}{\infty}F(\omega)e{i\omega x},d\omega.
$$

Passo 2

Como f(x) é função par, simplificamos a transformada por
F(omega)=2integral0^1(1-x^2)cos(omega x),dx

Passo 3

Precisamos calcular
I1=integral0^1cos(omega x),dx=sinomegaomega,
e
I2=integral0^1x^2cos(omega x),dx
Para I2 fazemos integração por partes: tomando u=x^2 e dv=cos(omega x)dx, achamos
I2=sinomegaomega+2cosomegaomega^2-2sinomegaomega^3

Passo 4

Logo
integral0^1(1-x^2)cos(omega x),dx=I1-I2=-2cosomegaomega^2+2sinomegaomega^3
Multiplicando por 2, obtemos
F(omega)=2l(-2cosomegaomega^2+2sinomegaomega^3r) =4sinomega-omegacosomegaomega^3

Passo 5

Finalmente, pela fórmula de inversão da transformada de Fourier, temos a representação integral
f(x)=12piintegral-infty^inftyF(omega)e^iomega x,domega =12piintegral-infty^infty4sinomega-omegacosomegaomega^3,e^iomega x,domega

Resposta

f(x)=12piintegral-infty^infty4sinomega-omegacosomegaomega^3,e^iomega x,domega

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