Encontre a representação integral de Fourier das funções dadas (em todos os casos, a>0 ).
f(x)=cl1-|x| & se -1á

Passo 1

A questão pede a gente encontrar a representação integral de Fourier (isto é, a transformada e a fórmula inversa) da função triangular
f(x)= 1-|x|,&-1á.
O conteúdo central é a transformada de Fourier contínua e sua inversa.

Passo 2

Vamos primeiro chamar
F(omega)=integral-infty^inftyf(x)e^-iomega x,dx
para depois usar a fórmula inversa
f(x)=12piintegral-infty^inftyF(omega)e^iomega x,domega

Passo 3

Note que f(x) é par (f(–x)=f(x)), então
F(omega)=2integral0^1(1-x)cos(omega x),dx

Passo 4

Para calcular
I=integral0^1(1-x)cos(omega x),dx
vamos dividir em
I=integral0^1cos(omega x),dx-integral0^1xcos(omega x),dx
O primeiro é
integral0^1cos(omega x),dx=sinomegaomega,
e o segundo, por partes, dá
integral0^1xcos(omega x),dx=sinomegaomega+cosomega-1omega^2

Passo 5

Subtraindo, achamos
I=sinomegaomega-l(sinomegaomega+cosomega-1omega^2r)=1-cosomegaomega^2

Passo 6

Logo
F(omega)=2I=2(1-cosomega)omega^2

Passo 7

Por fim, a inversa nos dá a representação integral de Fourier de f(x):
f(x)=12piintegral-infty^infty2l(1-cosomegar)omega^2e^iomega x,domega

Resposta

f(x)=12piintegral-infty^infty2l(1-cosomegar)omega^2,e^iomega x,domega

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