Calcule
lim x 0^+[cos 3 x]^sen x

Passo 1

O enunciado pede para calcular limxto0^+[cos3x]^sin x. Isso é um limite de forma indeterminada 1^0. Vamos usar transformação logarítmica e aproximações (séries de Taylor) para resolver.

Passo 2

Definimos f(x)=[cos3x]^sin x. Como a base tende a 1 e o expoente a 0, aplicamos exp e ln:
f(x)=expl(sin xcdotln(cos3x)r)

Passo 3

Precisamos achar L=limxto0^+sin xcdotln(cos3x). Para isso usamos:
  • sin xapprox x quando xto0.
  • ln(cos3x)=lnl(1-tfrac(3x)^22+o(x^2)r)approx -tfrac(3x)^22=-tfrac9x^22
Logo,
sin xcdotln(cos3x)approx xcdotl(-tfrac9x^22r)=-tfrac9x^32to0

Passo 4

Portanto L=0 e
limxto0^+f(x)=exp(L)=exp(0)=1

Resposta

1

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