Determine se as funções abaixo são soluções da equação de Laplace
.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e a equação
. Para verificar se
é solução, precisamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem e checar se a diferença
anula.
Passo 2
Para achar
, primeiro calculamos a derivada de
em relação a
, considerando
constante:
. Depois diferenciamos novamente em
:
.
Passo 3
Para obter
, calculamos a derivada de
em relação a
:
. Em seguida derivamos em
:
.
Passo 4
Substituindo na equação de Laplace modificada, temos
Como a diferença é zero, a equação é satisfeita.
Resposta
Sim. A função satisfaz
e, portanto, é solução.