Determine se as funções abaixo são soluções da equação de Laplace ux x-uy y=0.
u=x^3+3 x y^2

Passo 1

O enunciado nos dá a função u(x,y)=x^3+3xy^2 e a equação uxx-uyy=0. Para verificar se u é solução, precisamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem e checar se a diferença uxx-uyy anula.

Passo 2

Para achar uxx, primeiro calculamos a derivada de u em relação a x, considerando y constante: partial upartial x=3x^2+3y^2. Depois diferenciamos novamente em x: partial^2 upartial x^2=6x.

Passo 3

Para obter uyy, calculamos a derivada de u em relação a y: partial upartial y=6xy. Em seguida derivamos em y: partial^2 upartial y^2=6x.

Passo 4

Substituindo na equação de Laplace modificada, temos
uxx-uyy=6x-6x=0
Como a diferença é zero, a equação é satisfeita.

Resposta

Sim. A função satisfaz uxx-uyy=0 e, portanto, é solução.

Exercícios relacionados