Parte I - Determine a solução geral de cada uma das equações diferenciais ordinárias seguintes, justificando suas respostas:
y^prime+x y=x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial ordinária (EDO) do tipo . Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação. Para resolver isso, vamos precisar usar o método do fator integrante, que é uma técnica bem bacana para resolver EDOs lineares de primeira ordem. Então, bora começar!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos da nossa equação. Ela está na forma padrão de uma EDO linear de primeira ordem:
y' + P(x) y = Q(x)
Aqui, mu(x) = e^integral P(x) dx e . Para resolver essa equação, a gente precisa encontrar um fator integrante que vai multiplicar toda a equação e facilitar a integração. A fórmula para o fator integrante é:

Passo 3

Vamos calcular o fator integrante mu(x) = e^integral x , dx = e^x^22 :
Então, nosso fator integrante é .

Passo 4

Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
e^x^22 y' + e^x^22 cdot x y = e^x^22 cdot x
Isso simplifica para:
ddx ( e^x^22 y ) = e^x^22 cdot x
A ideia aqui é que a esquerda da equação agora é a derivada do produto , facilitando a integração.

Passo 5

Vamos integrar ambos os lados da equação em relação a integral ddx ( e^x^22 y ) dx = integral e^x^22 cdot x , dx :
A integral do lado esquerdo é simplesmente . Agora, vamos resolver a integral do lado direito.

Passo 6

Observando a integral integral e^u , du = e^u + C = e^x^22 + C , percebemos que podemos usar uma substituição simples. Seja , então . Portanto, a integral fica:

Passo 7

Voltando à nossa equação integrada:
e^x^22 y = e^x^22 + C
Agora, para isolar y = 1 + C cdot e^-x^22 , dividimos ambos os lados por :

Resposta

A solução geral da equação diferencial y = 1 + C cdot e^-x^22 é:
onde é uma constante arbitrária.

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