Parte I - Determine a solução geral de cada uma das equações diferenciais ordinárias seguintes, justificando suas respostas:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial ordinária (EDO) do tipo
. Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação. Para resolver isso, vamos precisar usar o método do fator integrante, que é uma técnica bem bacana para resolver EDOs lineares de primeira ordem. Então, bora começar!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os termos da nossa equação. Ela está na forma padrão de uma EDO linear de primeira ordem:
Aqui,
e
. Para resolver essa equação, a gente precisa encontrar um fator integrante
que vai multiplicar toda a equação e facilitar a integração. A fórmula para o fator integrante é:
Passo 3
Vamos calcular o fator integrante
:
Então, nosso fator integrante é
.
Passo 4
Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
A ideia aqui é que a esquerda da equação agora é a derivada do produto
, facilitando a integração.
Passo 5
Vamos integrar ambos os lados da equação em relação a
:
A integral do lado esquerdo é simplesmente
. Agora, vamos resolver a integral do lado direito.
Passo 6
Observando a integral
, percebemos que podemos usar uma substituição simples. Seja
, então
. Portanto, a integral fica:
Passo 7
Voltando à nossa equação integrada:
Agora, para isolar
, dividimos ambos os lados por
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é:
onde
é uma constante arbitrária.