Parte I - Determine a solução geral de cada uma das equações diferenciais ordinárias seguintes, justificando suas respostas:
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da EDO linear de 2º ordem não homogênea com coeficientes constantes
Conteúdo: método das equações lineares de 2ª ordem, encontrando primeiro a solução geral da homogênea e em seguida uma solução particular pelo método dos coeficientes a determinar.
Passo 2
Para achar a parte homogênea, escrevemos a equação característica associada:
Essa equação tem raiz dupla em
. Logo a solução geral da homogênea é
Passo 3
Para a parte particular, notamos que o lado direito é
. Como
é raiz dupla, multiplicamos uma tentativa
por
, isto é, assumimos
onde
é um polinômio de grau 5. Aplicando o operador
em
nota-se que
Então basta resolver
Passo 4
Integramos duas vezes para obter
:
Os termos envolvendo
e
geram justamente soluções da homogênea, então podemos escolher
para simplificar e obter uma particular:
Passo 5
A solução geral da EDO é a soma da homogênea com a particular. Portanto
que pode ser fatorada como
$$y(x)=e^{2x}\Bigl(C_1 + C_2 x + \tfrac{x5}{20}+\tfrac{x3}{6}\Bigr).
$$