Parte I - Determine a solução geral de cada uma das equações diferenciais ordinárias seguintes, justificando suas respostas:
y^prime prime-4 y^prime+4 y=(x^3+x) e^2 x

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO linear de 2º ordem não homogênea com coeficientes constantes
Conteúdo: método das equações lineares de 2ª ordem, encontrando primeiro a solução geral da homogênea e em seguida uma solução particular pelo método dos coeficientes a determinar.

Passo 2

Para achar a parte homogênea, escrevemos a equação característica associada:
r^2 - 4r + 4 = 0
Essa equação tem raiz dupla em r=2. Logo a solução geral da homogênea é
yh(x) = (C1 + C2 x)e^2x

Passo 3

Para a parte particular, notamos que o lado direito é (x^3 + x)e^2x. Como r=2 é raiz dupla, multiplicamos uma tentativa P3(x)e^2x por x^2, isto é, assumimos
yp(x) = p(x),e^2x,
onde p(x) é um polinômio de grau 5. Aplicando o operador L[y]=y''-4y'+4y em yp nota-se que
L[yp]=p''(x),e^2x
Então basta resolver
p''(x)=x^3 + x

Passo 4

Integramos duas vezes para obter p(x):
  1. p'(x)=integral(x^3 + x),dx=tfracx^44+tfracx^22+A1
  2. p(x)=integrall(tfracx^44+tfracx^22+A1r)dx=tfracx^520+tfracx^36+A1 x + A2
Os termos envolvendo A1 e A2 geram justamente soluções da homogênea, então podemos escolher A1=A2=0 para simplificar e obter uma particular:
yp(x)=l(tfracx^520+tfracx^36r)e^2x

Passo 5

A solução geral da EDO é a soma da homogênea com a particular. Portanto
y(x)=(C1 + C2 x)e^2x + l(tfracx^520+tfracx^36r)e^2x
que pode ser fatorada como
$$y(x)=e^{2x}\Bigl(C_1 + C_2 x + \tfrac{x5}{20}+\tfrac{x3}{6}\Bigr).
$$

Resposta

y(x)=e^2xl(C1 + C2 x + tfracx^520+tfracx^36r)

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