Use o método de separação de variáveis para resolver os seguintes problemas de valor inicial e de fronteira (em alguns problemas, pode ser necessário encontrar antes a solução de (e) (Corda sujeita à ação da gravidade)
ut t=c^2 ux x-g & se 00 u(0, t)=0, u(L, t)=0 & se t >= 0 u(x, 0)=f(x), ut(x, 0)=g(x) & se 0 <= x <= L

Passo 1

Vamos resolver um problema de equação das cordas sujeita à ação da gravidade usando o método de separação de variáveis. A equação que temos descreve como a posição $ u(x,t) $ da corda varia no tempo e no espaço. Para resolver, vamos precisar entender como separar as variáveis $ x $ e $ t $ e aplicar condições de contorno e iniciais.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a equação dada:
utt = c^2 uxx - g
Aqui, $ u_{tt} $ é a segunda derivada de $ u $ em relação ao tempo $ t $, e $ u_{xx} $ é a segunda derivada em relação ao espaço $ x $. $ c $ é uma constante relacionada à velocidade da onda na corda, e $ g $ é a aceleração da gravidade.

Passo 3

Vamos supor que a solução $ u(x,t) $ pode ser escrita como o produto de uma função que depende apenas de $ x $ e outra que depende apenas de $ t $:
u(x,t)
Essa é a essência do método de separação de variáveis.

Passo 4

Substituímos $ u(x,t) = X(x) T(t) $ na equação original:
u(x,t) = X(x) T(t)
Aqui, $ T’’(t) $ é a segunda derivada de $ T $ em relação a $ t $, e $ X’’(x) $ é a segunda derivada de $ X $ em relação a $ x $.

Passo 5

Vamos rearranjar a equação para isolar os termos que dependem de $ x $ e $ t $:
x
Para que essa igualdade seja verdadeira para todos os $ x $ e $ t $, cada lado deve ser igual a uma constante, digamos $ -\lambda $.

Passo 6

Isso nos dá duas equações separadas:
  1. Para a parte temporal:
T''(t) + lambda c^2 T(t) = 0
  1. Para a parte espacial:
X''(x) + lambda X(x) = gc^2

Passo 7

Vamos resolver a equação espacial primeiro:
X''(x) + lambda X(x) = gc^2
É uma equação diferencial linear não homogênea. A solução geral é a soma da solução da homogênea $ X_h(x) $ e uma solução particular $ X_p(x) $.

Passo 8

A solução da homogênea $ X_h(x) $ é:
Xh(x)
Onde $ A $ e $ B $ são constantes a serem determinadas pelas condições de contorno.

Passo 9

Encontramos uma solução particular $ X_p(x) $. Como o termo não homogêneo é constante, tentamos $ X_p(x) = constante $:
Xp(x)
Como $ X_p’’(x) = 0 $, substituímos:
Xp(x) = constante

Passo 10

Assim, a solução geral para $ X(x) $ é:
X(x)

Passo 11

Aplicamos as condições de contorno $ u(0,t) = 0 $ e $ u(L,t) = 0 $:
  1. Em $ x = 0 $:
u(0,t) = 0
  1. Em $ x = L $:
u(L,t) = 0
Para que $ A \neq 0 $, precisamos que:
x = 0

Passo 12

Agora, temos os valores próprios $ \lambda_n $ e as correspondentes funções espaciais:
lambdan
Onde $ A_n $ são constantes a serem determinadas pelas condições iniciais.

Passo 13

Agora, resolvemos a parte temporal da equação:
T''(t) + lambdan c^2 T(t) = 0
A solução geral é:
Tn(t) = Cn cos(npi c t / L) + Dn sin(npi c t / L)
Onde $ C_n $ e $ D_n $ são constantes determinadas pelas condições iniciais.

Passo 14

A solução completa $ u(x,t) $ é a soma das soluções para cada modo $ n $:
u(x,t)

Resposta

A solução da equação das cordas sujeita à ação da gravidade, utilizando o método de separação de variáveis, é dada por:
u(x,t) = sumn=1^infty [ (An sin(npi xL) + g L^2n^2 pi^2 c^2 (1 - cos(npi xL)) ) ( Cn cos(npi c tL) + Dn sin(npi c tL) ) ]
Onde $ A_n $, $ C_n $ e $ D_n $ são constantes determinadas pelas condições iniciais $ u(x,0) = f(x) $ e $ u_t(x,0) = g(x) $.

Exercícios relacionados