Use o método de separação de variáveis para resolver os seguintes problemas de valor inicial e de fronteira (em alguns problemas, pode ser necessário encontrar antes a solução de (e) (Corda sujeita à ação da gravidade)
Passo 1
Vamos resolver um problema de equação das cordas sujeita à ação da gravidade usando o método de separação de variáveis. A equação que temos descreve como a posição $ u(x,t) $ da corda varia no tempo e no espaço. Para resolver, vamos precisar entender como separar as variáveis $ x $ e $ t $ e aplicar condições de contorno e iniciais.
Passo 2
Primeiro, escrevemos a equação dada:
Aqui, $ u_{tt} $ é a segunda derivada de $ u $ em relação ao tempo $ t $, e $ u_{xx} $ é a segunda derivada em relação ao espaço $ x $. $ c $ é uma constante relacionada à velocidade da onda na corda, e $ g $ é a aceleração da gravidade.
Passo 3
Vamos supor que a solução $ u(x,t) $ pode ser escrita como o produto de uma função que depende apenas de $ x $ e outra que depende apenas de $ t $:
Essa é a essência do método de separação de variáveis.
Passo 4
Substituímos $ u(x,t) = X(x) T(t) $ na equação original:
Aqui, $ T’’(t) $ é a segunda derivada de $ T $ em relação a $ t $, e $ X’’(x) $ é a segunda derivada de $ X $ em relação a $ x $.
Passo 5
Vamos rearranjar a equação para isolar os termos que dependem de $ x $ e $ t $:
Para que essa igualdade seja verdadeira para todos os $ x $ e $ t $, cada lado deve ser igual a uma constante, digamos $ -\lambda $.
Passo 6
Isso nos dá duas equações separadas:
- Para a parte temporal:
- Para a parte espacial:
Passo 7
Vamos resolver a equação espacial primeiro:
É uma equação diferencial linear não homogênea. A solução geral é a soma da solução da homogênea $ X_h(x) $ e uma solução particular $ X_p(x) $.
Passo 8
A solução da homogênea $ X_h(x) $ é:
Onde $ A $ e $ B $ são constantes a serem determinadas pelas condições de contorno.
Passo 9
Encontramos uma solução particular $ X_p(x) $. Como o termo não homogêneo é constante, tentamos $ X_p(x) = constante $:
Como $ X_p’’(x) = 0 $, substituímos:
Passo 10
Assim, a solução geral para $ X(x) $ é:
Passo 11
Aplicamos as condições de contorno $ u(0,t) = 0 $ e $ u(L,t) = 0 $:
- Em $ x = 0 $:
- Em $ x = L $:
Para que $ A \neq 0 $, precisamos que:
Passo 12
Agora, temos os valores próprios $ \lambda_n $ e as correspondentes funções espaciais:
Onde $ A_n $ são constantes a serem determinadas pelas condições iniciais.
Passo 13
Agora, resolvemos a parte temporal da equação:
A solução geral é:
Onde $ C_n $ e $ D_n $ são constantes determinadas pelas condições iniciais.
Passo 14
A solução completa $ u(x,t) $ é a soma das soluções para cada modo $ n $:
Resposta
A solução da equação das cordas sujeita à ação da gravidade, utilizando o método de separação de variáveis, é dada por:
Onde $ A_n $, $ C_n $ e $ D_n $ são constantes determinadas pelas condições iniciais $ u(x,0) = f(x) $ e $ u_t(x,0) = g(x) $.