Calcule lim x a f(x) e determine se f é contínua em a.
f(x)=lceil xrceil

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular o limite de $ f(x) = \lceil x \rceil $ quando $ x $ se aproxima de $ a $ e verificar se a função é contínua em $ a f(x) = lceil x rceil çõçã \lceil x \rceil $) para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a função teto. A função teto $ \lceil x \rceil $ retorna o menor número inteiro que é maior ou igual a $ x $. Por exemplo, $ \lceil 2.3 \rceil = 3 $ e $ \lceil -1.7 \rceil = -1 $.

Passo 3

Para calcular o limite $ \lim_{x \to a} f(x) $, precisamos verificar os limites laterais, ou seja, o limite quando $ x $ se aproxima de $ a $ por valores menores que $ a $ e por valores maiores que $ a $.

Passo 4

Vamos calcular o limite pela esquerda ($ x \to a^- $):
Quando $ x $ se aproxima de $ a $ por valores menores que $ a $, $ \lceil x \rceil $ será igual a $ a $ se $ a $ for inteiro, ou igual ao menor inteiro maior que $ a $.

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite pela direita ($ x \to a^+ $):
Quando $ x $ se aproxima de $ a $ por valores maiores que $ a $, $ \lceil x \rceil $ será igual a $ a + 1 $ se $ a $ for inteiro, ou igual ao menor inteiro maior que $ a $.

Passo 6

Se $ a $ for um número inteiro, os limites laterais são iguais a $ a $, então o limite existe e é igual a $ a $. Além disso, $ f(a) = \lceil a \rceil = a $, então a função é contínua em $ a $.

Passo 7

Se $ a $ não for um número inteiro, os limites laterais não coincidem. O limite pela esquerda será o menor inteiro maior que $ a $, enquanto o limite pela direita será esse mesmo inteiro, já que $ x $ se aproxima de $ a $ por valores maiores que $ a $. Portanto, o limite existe e é igual ao menor inteiro maior ou igual a $ a $. No entanto, $ f(a) = \lceil a \rceil $, que coincide com o limite, então a função também é contínua em $ a $.

Resposta

O limite $ \lim_{x \to a} f(x) = \lceil a \rceil $ e a função $ f $ é contínua em $ a $.

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