Calcule
e determine se
é contínua em
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para calcular o limite de $ f(x) = \lceil x \rceil $ quando $ x $ se aproxima de $ a $ e verificar se a função é contínua em $ a
\lceil x \rceil $) para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a função teto. A função teto $ \lceil x \rceil $ retorna o menor número inteiro que é maior ou igual a $ x $. Por exemplo, $ \lceil 2.3 \rceil = 3 $ e $ \lceil -1.7 \rceil = -1 $.
Passo 3
Para calcular o limite $ \lim_{x \to a} f(x) $, precisamos verificar os limites laterais, ou seja, o limite quando $ x $ se aproxima de $ a $ por valores menores que $ a $ e por valores maiores que $ a $.
Passo 4
Vamos calcular o limite pela esquerda ($ x \to a^- $):
Quando $ x $ se aproxima de $ a $ por valores menores que $ a $, $ \lceil x \rceil $ será igual a $ a $ se $ a $ for inteiro, ou igual ao menor inteiro maior que $ a $.
Quando $ x $ se aproxima de $ a $ por valores menores que $ a $, $ \lceil x \rceil $ será igual a $ a $ se $ a $ for inteiro, ou igual ao menor inteiro maior que $ a $.
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite pela direita ($ x \to a^+ $):
Quando $ x $ se aproxima de $ a $ por valores maiores que $ a $, $ \lceil x \rceil $ será igual a $ a + 1 $ se $ a $ for inteiro, ou igual ao menor inteiro maior que $ a $.
Quando $ x $ se aproxima de $ a $ por valores maiores que $ a $, $ \lceil x \rceil $ será igual a $ a + 1 $ se $ a $ for inteiro, ou igual ao menor inteiro maior que $ a $.
Passo 6
Se $ a $ for um número inteiro, os limites laterais são iguais a $ a $, então o limite existe e é igual a $ a $. Além disso, $ f(a) = \lceil a \rceil = a $, então a função é contínua em $ a $.
Passo 7
Se $ a $ não for um número inteiro, os limites laterais não coincidem. O limite pela esquerda será o menor inteiro maior que $ a $, enquanto o limite pela direita será esse mesmo inteiro, já que $ x $ se aproxima de $ a $ por valores maiores que $ a $. Portanto, o limite existe e é igual ao menor inteiro maior ou igual a $ a $. No entanto, $ f(a) = \lceil a \rceil $, que coincide com o limite, então a função também é contínua em $ a $.
Resposta
O limite $ \lim_{x \to a} f(x) = \lceil a \rceil $ e a função $ f $ é contínua em $ a $.