(2) Determine f^prime(x) para:
f(x)=4 x^3-5x+7x^2

Passo 1

O enunciado pede a derivada de uma função do tipo polinomial com termos em potência negativa. O conteúdo aqui é a regra do poder, que diz que, para uma função x^n, a derivada é n x^n-1. Vamos usar isso para cada termo.

Passo 2

Primeiro, reescrevemos os termos que têm x no denominador como potências negativas. Assim, temos
f(x) = 4x^3 - 5x^-1 + 7x^-2
Isso nos permite aplicar diretamente a regra do poder.

Passo 3

Agora, aplicamos a regra do poder termo a termo:
  • Para 4x^3, a derivada é 4 cdot 3 x^3-1 = 12x^2.
  • Para -5x^-1, a derivada é -5 cdot (-1) x^-1-1 = 5x^-2.
  • Para 7x^-2, a derivada é 7 cdot (-2) x^-2-1 = -14x^-3.

Passo 4

Por fim, juntamos os resultados e, se quisermos, reescrevemos as potências negativas como frações:
f'(x) = 12x^2 + 5x^-2 - 14x^-3 = 12x^2 + 5x^2 - 14x^3

Resposta

f'(x)=12x^2+5x^2-14x^3

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