(2) Determine f^prime(x) para:
f(x)=raizx+1x-4 x^23

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=√x + 1/x – 4 x^{2/3}. Estamos em derivadas de funções do tipo potência e recíproca, e vamos usar a regra geral f(x)=x^n ⇒ f′(x)=n x^{n−1}.

Passo 2

Para o termo √x escrevemos √x=x^{1/2}. Usando a regra da potência, a derivada é
ddxl(x^1/2r)=12 x^-1/2

Passo 3

Para o termo 1/x escrevemos 1/x=x^{-1}. A derivada fica
ddxl(x^-1r)=-1,x^-2

Passo 4

Para o termo –4 x^{2/3} aplicamos a regra da potência com constante multiplicativa:
ddxl(-4 x^2/3r)=-4cdot23x^-1/3=-83x^-1/3

Passo 5

Agora somamos as derivadas de cada termo para obter f′(x).

Resposta

f'(x)=12raizx-1x^2-83x^1/3

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