Calcule:
lim x 0 a^h-1h, a>0, a neq 1.

Passo 1

O enunciado nos pede calcular
limhto0a^h-1h
para a>0, aneq1. Isso equivale à derivada de a^x em x=0. Para resolver, vamos usar que
a^h = e^hln(a)
e o limite fundamental
limuto0e^u-1u=1.

Passo 2

Substituindo a^h por e^hln(a) no quociente, obtemos
a^h-1h = e^hln(a)-1h

Passo 3

Agora escrevemos
e^hln(a)-1h = e^hln(a)-1hln(a);cdot;ln(a)
Ao definirmos u = hln(a), temos uto0 quando hto0 e, pelo limite fundamental,
limhto0e^hln(a)-1hln(a) = limuto0e^u-1u =1
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limhto0a^h-1h = ln(a)

Resposta

ln(a)

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