Decida sobre a convergência ou divergência das seguintes sequências:
an=ln (e^n+2)-ln (e^n+1);

Passo 1

O enunciado pede para decidir sobre a convergência da sequência
an = lnl(e^n+2r);-;lnl(e^n+1r)
O conteúdo é limite de sequência envolvendo logaritmo e exponencial. Vamos usar a propriedade de diferença de logaritmos e o comportamento de e^n quando ntoinfty.

Passo 2

Usamos a identidade ln A - ln B = lnl(A/Br). Assim,
an = lne^n+2,e^n+1,

Passo 3

Fatoramos e^n em cima e em baixo para expor o termo que tende a zero:
e^n+2e^n+1 = e^nl(1+2e^-nr)e^nl(1+e^-nr) = 1+2e^-n1+e^-n
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an = ln!l(tfrac1+2e^-n1+e^-nr)

Passo 4

Como e^-nto0 quando ntoinfty, o quociente
tfrac1+2e^-n1+e^-nto1. Pela continuidade do logaritmo,
limntoinftyan = ln(1) = 0
Portanto, a sequência converge.

Resposta

A sequência converge e
limntoinftyan = 0

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