Calcule:
lim x infty(1+2x)^x.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
limxtoinftyl(1+2xr)^x
O conteúdo é limite de forma exponencial do tipo (1+a/x)^x, que se relaciona com o número e. Para resolver, vamos usar a função logaritmo natural e, em seguida, aplicar regra de l’Hôpital.

Passo 2

Defina
L = limxtoinftyl(1+2xr)^x
Tomando logaritmo natural em ambos os lados, obtemos
ln L = limxtoinfty x ,ln!l(1+tfrac2xr)

Passo 3

Reescreva o produto como quociente para usar l’Hôpital:
ln L = limxtoinftyln!l(1+tfrac2xr)1/x
As derivadas são
ddxl[ln(1+2/x)r] = -2/x^21+2/x, ddxl[1/xr] = -1/x^2
Logo, pela regra de l’Hôpital,
ln L = limxtoinfty -2/x^2,1+2/x,-1/x^2 = limxtoinfty21+2/x = 2

Passo 4

Como ln L = 2, temos L = e^2.

Resposta

limxtoinftyl(1+2xr)^x = e^2

Exercícios relacionados