Exercício 7. (Apostol seção 4.4 exercícios 5, 7, 8, 9) Para cada uma das situações abaixo, considere
um espaço vetorial,
uma transformação linear e ache os autovalores e autovetores de
:
.
Passo 1
O enunciado define o espaço
e a transformação linear
Queremos achar todos os escalar
(autovalores) e funções não-nulas
(autovetores) tais que
isto é,
com as condições de contorno
Passo 2
Para resolver
distinguimos três casos para
:
-
. -
. -
.
Em cada caso encontramos a forma geral dee aplicamos as condições .
Passo 3
Caso
. A equação torna-se
cuja solução geral é
As condições de contorno dão
Logo só há a solução trivial
. Dessa forma,
não é autovalor (não gera autovetor não-nulo).
Passo 4
Caso
. Escreva
com
. A equação é
solução geral
As condições de contorno dão
Para não ter apenas a solução trivial, precisaríamos
e
, mas
para
. Logo só existe
, e não há autovetor não-nulo. Assim, nenhum
é autovalor.
Passo 5
Caso
. Escreva
com
. A equação é
solução geral
Aplicando as condições de contorno:
Para existir
precisamos
e
. Isso ocorre se e somente se
Como
,
deve ser um inteiro positivo
. Logo
e
O autovetor correspondente, até constante não-nula, é
que de fato satisfaz
e
.
Resposta
Os autovalores de
são
e um conjunto de autovetores associados é