Exercício 7. (Apostol seção 4.4 exercícios 5, 7, 8, 9) Para cada uma das situações abaixo, considere V um espaço vetorial, T: V V uma transformação linear e ache os autovalores e autovetores de T :
V=f in C^infty([0,1]), f(0)=f(pi)=0, T f=d^2 fd t^2.

Passo 1

O enunciado define o espaço
V=fin C^infty([0,pi])mid f(0)=f(pi)=0
e a transformação linear
Tcolon Vto V, T(f)=d^2fdt^2
Queremos achar todos os escalar lambda (autovalores) e funções não-nulas fin V (autovetores) tais que
T(f)=lambda f,
isto é,
f''(t)=lambda,f(t),
com as condições de contorno
f(0)=0, f(pi)=0

Passo 2

Para resolver f''=lambda f distinguimos três casos para lambda:
  1. lambda=0.
  2. lambda>0.
  3. lambda<0.
    Em cada caso encontramos a forma geral de f e aplicamos as condições f(0)=f(pi)=0.

Passo 3

Caso lambda=0. A equação torna-se
f''(t)=0,
cuja solução geral é
f(t)=A,t+B
As condições de contorno dão
f(0)=B=0, f(pi)=Api+B=Api=0 ;Longrightarrow; A=0
Logo só há a solução trivial fequiv0. Dessa forma, lambda=0 não é autovalor (não gera autovetor não-nulo).

Passo 4

Caso lambda>0. Escreva lambda=alpha^2 com alpha>0. A equação é
f''(t)=alpha^2,f(t),
solução geral
f(t)=C,e^alpha t+D,e^-alpha t
As condições de contorno dão
f(0)=C+D=0;Longrightarrow;D=-C,
f(pi)=C,e^alphapi+D,e^-alphapi =Cl(e^alphapi-e^-alphapir)=C,2sinh(alphapi)=0
Para não ter apenas a solução trivial, precisaríamos Cneq0 e sinh(alphapi)=0, mas sinh(alphapi)neq0 para alpha>0. Logo só existe fequiv0, e não há autovetor não-nulo. Assim, nenhum lambda>0 é autovalor.

Passo 5

Caso lambda<0. Escreva lambda=-k^2 com k>0. A equação é
f''(t)=-k^2,f(t),
solução geral
f(t)=Acos(k t)+Bsin(k t)
Aplicando as condições de contorno:
f(0)=Acdot1+Bcdot0=A=0,
f(pi)=Acos(kpi)+Bsin(kpi)=Bsin(kpi)=0
Para existir fnotequiv0 precisamos Bneq0 e sin(kpi)=0. Isso ocorre se e somente se
kpi = npi, ninZ
Como k>0, n deve ser um inteiro positivo n=1,2,3,dots. Logo
k=n,
e
lambda = -k^2 = -n^2
O autovetor correspondente, até constante não-nula, é
fn(t)=sin(n t),
que de fato satisfaz fn''=-n^2sin(nt)=-n^2fn e fn(0)=fn(pi)=0.

Resposta

Os autovalores de T são
lambdan = -n^2, n=1,2,3,dots,
e um conjunto de autovetores associados é
fn(t)=sin(nt), n=1,2,3,dots

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