Ache o raio e o intervalo de convergência da série:
sumn=1^infty (x+2)^n4^n n

Passo 1

O enunciado pede o raio e o intervalo de convergência da série de potências centrada em -2:
sumn=1^infty(x+2)^n4^n,n
O conteúdo é séries de potências: vamos usar o teste da razão para encontrar o raio de convergência e em seguida testar os extremos para decidir se convergem ou divergem.

Passo 2

Para aplicar o teste da razão, defina o termo geral
un = (x+2)^n4^n,n
O teste da razão afirma que a série converge se
L = limntoinfty|un+1un| < 1

Passo 3

Calculemos
|un+1un| =|(x+2)^n+14^n+1(n+1)cdot4^n,n(x+2)^n| =|x+2|4,nn+1
Fazendo ntoinfty, obtemos
L = |x+2|4
A condição L<1 vira
|x+2|4<1 Longrightarrow |x+2|<4
Logo o raio de convergência é
R = 4
e a convergência acontece inicialmente para
-4 < x+2 < 4 Longrightarrow -6 < x < 2

Passo 4

Testando o extremo x=2: o termo geral vira
un|x=2 =(2+2)^n4^n,n =4^n4^n,n =1n,
e a série sum 1/n é a série harmônica, que diverge. Portanto em x=2 não há convergência.

Passo 5

Testando o extremo x=-6: o termo geral vira
un|x=-6 =(-6+2)^n4^n,n =(-4)^n4^n,n =(-1)^nn
A série sum(-1)^n/n converge condicionalmente pelo critério de Leibniz (série alternada com termos decrescentes em módulo indo a zero). Logo em x=-6 há convergência.

Resposta

Raio de convergência: R=4.
Intervalo de convergência: -6 <= x < 2. Converge condicionalmente em x=-6 e diverge em x=2.

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