Calcule:
lim x infty(1+3x+5x^2)^x.

Passo 1

O enunciado pede calcular
limxtoinftyl(1+3x+5x^2r)^x
O conteúdo envolvido é limite de expressão do tipo (1+ux)^1/ux aproximado por e, e vamos usar o logaritmo e expansão em série de Taylor de ln(1+u).

Passo 2

Definimos
L = limxtoinftyl(1+3x+5x^2r)^x
Para encontrar L, consideramos o logaritmo:
ln L = limxtoinfty x ,lnl(1+3x+5x^2r)

Passo 3

Fazemos a expansão de Taylor para ln(1+u) com
u = 3x+5x^2
Sabemos que
ln(1+u) = u - u^22 + o(u^2) quando uto0
Logo,
lnl(1+3x+5x^2r) = 3x+5x^2 - 12l(3x+5x^2r)^2 + ol(1x^2r)
Como
l(3x+5x^2r)^2 = 9x^2 + Ol(1x^3r),
temos
lnl(1+3x+5x^2r) = 3x+5x^2-92x^2 + ol(1x^2r) = 3x + 12x^2 + ol(1x^2r)

Passo 4

Multiplicando por x,
x ,lnl(1+3x+5x^2r) = xl(3x + 12x^2 + o(tfrac1x^2)r) = 3 + 12x + ol(1xr)
Ao levar xtoinfty, obtemos
ln L = 3
Assim,
L = e^3

Resposta

e^3

Exercícios relacionados