Exercício 3. (Apostol seção 1.10 exercícios 1 a 10) Quais dos seguintes subconjuntos
são subespaços vetoriais? Determine a dimensão, quando forem subespaços. Denotamos os elementos de
por
.
Passo 1
Primeiro, o enunciado quer saber se o conjunto
é um subespaço vetorial de e, em caso afirmativo, qual é a sua dimensão.
é um subespaço vetorial de
Passo 2
Lembrando que um subconjunto
é subespaço vetorial se, e somente se, satisfaz três condições:
- O vetor zero está em
. -
é fechado sob soma de vetores. -
é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 3
Verificações para
:
- O vetor zero é
, e nele temos , logo . - Se
e , então
cujo primeiro componente é
, logo a soma também está em
.
- Se
e , então
que também satisfaz
.
Portanto,
cumpre todas as condições e é subespaço vetorial.
Passo 4
Para encontrar a dimensão, basta exibir uma base. Observe que qualquer vetor de
é da forma
.
Os vetores
Os vetores
são linearmente independentes e geram
. Logo, eles formam uma base de
e
.