Exercício 3. (Apostol seção 1.10 exercícios 1 a 10) Quais dos seguintes subconjuntos S subset R^3 são subespaços vetoriais? Determine a dimensão, quando forem subespaços. Denotamos os elementos de R^3 por (x, y, z).
x=0

Passo 1

Primeiro, o enunciado quer saber se o conjunto
;S=(x,y,z)inR^3mid x=0
é um subespaço vetorial de R^3 e, em caso afirmativo, qual é a sua dimensão.

Passo 2

Lembrando que um subconjunto SsubsetR^3 é subespaço vetorial se, e somente se, satisfaz três condições:
  1. O vetor zero está em S.
  2. S é fechado sob soma de vetores.
  3. S é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 3

Verificações para S:
  • O vetor zero é (0,0,0), e nele temos x=0, logo (0,0,0)in S.
  • Se (0,y1,z1)in S e (0,y2,z2)in S, então
(0,y1,z1)+(0,y2,z2) ;=;(0,;y1+y2,;z1+z2),
cujo primeiro componente é 0, logo a soma também está em S.
  • Se lambdainR e (0,y,z)in S, então
lambda,(0,y,z) ;=;(0,;lambda y,;lambda z),
que também satisfaz x=0.
Portanto, S cumpre todas as condições e é subespaço vetorial.

Passo 4

Para encontrar a dimensão, basta exibir uma base. Observe que qualquer vetor de S é da forma
(0,y,z)=y,(0,1,0)+z,(0,0,1).
Os vetores
(0,1,0)e(0,0,1)
são linearmente independentes e geram S. Logo, eles formam uma base de S e
dim(S)=2.

Resposta

S é subespaço vetorial de R^3 e dim(S)=2.

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