Calcule:
lim x +infty(1+4x)^x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto+inftyl(1+4xr)^x
Isso é um limite clássico que leva à definição do número e. Vamos usar a transformação via logaritmo para resolver a indeterminação do tipo 1^infty.

Passo 2

Definimos
L = limxto+inftyl(1+4xr)^x
Como a forma é 1^infty, consideramos o logaritmo de L:
ln L = limxto+infty x lnl(1+4xr)

Passo 3

Para calcular
limxto+infty x lnl(1+4xr),
podemos usar o desenvolvimento em série para ln(1+u) quando uto0:
ln(1+u) = u - u^22 + o(u^2)
Aqui u = tfrac4xto0, logo
lnl(1+4xr) = 4x - 12l(4xr)^2 + ol(1x^2r)

Passo 4

Multiplicando por x, obtemos
x lnl(1+4xr) = xl(4x - 8x^2 + o(tfrac1x^2)r) = 4 - 8x + ol(1xr)
Tomando o limite xto+infty, vem
ln L = limxto+inftyl(4 - tfrac8x + o(tfrac1x)r) = 4

Passo 5

Como ln L = 4, concluímos que
L = e^4

Resposta

e^4

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