Resolva a equação diferencial de 3^a ordem:
y^prime prime prime-y^prime prime-2 y^prime=x-2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de terceira ordem com coeficientes constantes
y''' - y'' - 2,y' = x - 2
O método geral é obter primeiro a solução da equação homogênea associada e depois encontrar uma solução particular da não homogênea.

Passo 2

Analisamos a parte homogênea
y''' - y'' - 2,y' = 0
A equação característica é
r^3 - r^2 - 2r = r,(r^2 - r - 2) = r,(r-2),(r+1)=0,
cuja raízes são r=0, r=2 e r=-1. Logo a solução geral homogênea é
yh(x) = C1 + C2,e^2x + C3,e^-x

Passo 3

Procuramos uma solução particular yp(x) para
y''' - y'' - 2,y' = x - 2
Como o segundo membro é um polinômio de grau 1, tentamos
yp(x) = A x^2 + B x + C
Então
yp' = 2A x + B, yp'' = 2A, yp''' = 0
Substituindo na equação dada:
0 ;-; 2A ;-;2,(2A x + B);=;x - 2
-4A x ;-;2(A + B);=;x - 2
Igualando coeficientes de x e constantes, obtemos
-4A = 1Longrightarrow A = -tfrac14,
-2,(A+B) = -2Longrightarrow A + B = 1Longrightarrow B = tfrac54
O termo C cai na homogênea e pode ser absorvido em C1, então escolhemos C=0. Assim
yp(x) = -tfrac14,x^2 + tfrac54,x

Passo 4

A solução geral da equação não homogênea é a soma de yh com yp:
y(x) = C1 + C2,e^2x + C3,e^-x ;-;tfrac14,x^2 + tfrac54,x

Resposta

y(x) = C1 + C2,e^2x + C3,e^-x - 14,x^2 + 54,x

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