Resolva a equação diferencial de 2 ^a ordem:
y^prime prime-4 y=8 x^2-x+12

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea com coeficientes constantes
y'' - 4y = 8x^2 - x + 12
O que precisamos é (1) a solução geral da equação homogênea associada e (2) uma solução particular da não homogênea.

Passo 2

A equação homogênea é
y'' - 4y = 0
O polinômio característico é r^2 - 4 = 0, cujas raízes são r = 2 e r = -2.
Logo, a solução geral homogênea é
yh = C1 e^2x + C2 e^-2x

Passo 3

Para encontrar uma solução particular yp da não homogênea, como o termo à direita é um polinômio de grau 2, supomos
yp = Ax^2 + Bx + C
Então
yp'' = 2A

Passo 4

Substituindo em y'' - 4y = 8x^2 - x + 12 obtemos
yp'' - 4yp = 2A - 4l(Ax^2 + Bx + Cr) = -4A,x^2 - 4B,x + (2A - 4C)
Isto deve ser igual a
8x^2 - x + 12
Comparando coeficientes:
-4A = 8, -4B = -1, 2A - 4C = 12

Passo 5

Resolvendo o sistema:
-4A = 8 implies A = -2,
-4B = -1 implies B = tfrac14,
2(-2) - 4C = 12 implies -4 - 4C = 12 implies C = -4
Logo
yp = -2x^2 + tfrac14x - 4

Resposta

A solução geral da equação é
y(x) = C1 e^2x + C2 e^-2x - 2x^2 + 14x - 4

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