Calcule:
lim x -infty(1+ax)^b x

Passo 1

O enunciado pede o valor de
limxto -inftyl(1+axr)^b,x
Isso é um caso clássico de forma (1+pequeno)^grande. Vamos usar a técnica de tomar o logaritmo para transformar potência em produto e aplicar a expansão de Taylor de ln(1+u).

Passo 2

Definimos
L = limxto -inftyl(1+axr)^b,x
Supondo L>0, consideramos o logaritmo
ln L = limxto -infty lnl(1+tfracaxr)^b,x = limxto -infty b,x;lnl(1+tfracaxr)

Passo 3

Para xto -infty temos tfracaxto0. Usamos a expansão de Taylor
lnl(1+tfracaxr) = ax - 12,a^2x^2 + ol(tfrac1x^2r)

Passo 4

Multiplicamos por b,x:
b,x;lnl(1+tfracaxr) = b,xl(tfracax - tfraca^22x^2 + o(tfrac1x^2)r) = b,a - b,a^22x + ol(tfrac1xr)
Quando xto -infty, os termos tfrac1x desaparecem, ficando
ln L = limxto -inftyl(b,a - tfracb,a^22x + dotsr) = a,b

Passo 5

Como ln L = a,b, temos
L = e^a,b

Resposta

limxto -inftyl(1+axr)^b,x = e^a,b

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