Resolva a equação diferencial de 2^a ordem:
y^prime prime+4 y=tan (x)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 4y = tan(x)
O método geral é obter a solução geral y(x)=yh(x)+yp(x), onde yh é a solução da homogênea associada
y'' + 4y = 0
e yp é uma solução particular da não-homogênea. Para yp vamos usar o método de variação de parâmetros.

Passo 2

Resolvendo a parte homogênea
y'' + 4y = 0
a equação característica é
r^2 + 4 = 0 Rightarrow r = pm 2,i
Logo as duas soluções fundamentais são
y1(x) = cos(2x), y2(x) = sin(2x),
e
yh(x) = C1cos(2x) + C2sin(2x)

Passo 3

Pela variação de parâmetros, buscamos
yp(x) = u1(x),y1(x) + u2(x),y2(x),
com u1',u2' dados por
u1' = -y2(x),tan(x)W(x), u2' = y1(x),tan(x)W(x),
sendo W o Wronskiano de y1,y2. Calculamos
W = cos(2x) & sin(2x) -2sin(2x) & 2cos(2x) = 2cos^2(2x)+2sin^2(2x)=2
Então
u1' = -sin(2x),tan(x)2, u2' = cos(2x),tan(x)2

Passo 4

Simplificando u1':
sin(2x)tan(x) =2sin xcos x;sin xcos x =2sin^2 xLongrightarrow u1' = -sin^2 x
Logo
u1(x) = -integral sin^2 x,dx = -l(tfracx2-tfracsin(2x)4r) = -x2 + sin(2x)4
Agora u2':
u2' = cos(2x)sin x2cos x = 12l(sin xcos x - tan(x)r) = sin xcos x - tfrac12tan x
Então
integral sin xcos x,dx = sin^2 x2, integral tan(x),dx = -lnl|cos(x)r|
Logo
u2(x) = sin^2 x2 +12lnl|cos(x)r|

Passo 5

Construindo
yp = u1,cos(2x) + u2,sin(2x),
temos
yp =l(-x2+sin(2x)4r)cos(2x) +l(sin^2 x2+12lnl|cos(x)r|r)sin(2x)
Usando a identidade
sin^3 xcos x=14sin(2x)-18sin(4x),
fazendo as simplificações e coletando termos em cos(2x) e sin(2x), obtém-se
yp(x) =-x2cos(2x) +14sin(2x) +12lnl|cos(x)r|;sin(2x)

Resposta

A solução geral é
boxedy(x) = C1cos(2x) + C2sin(2x) -x2cos(2x) +14sin(2x) +12lnl|cos(x)r|;sin(2x),
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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