Calcule:
lim x +infty(1+ax)^x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto+inftyl(1+tfracaxr)^x
O conteúdo aqui é limite de expressão exponencial e vamos precisar usar logaritmo natural e, em seguida, a Regra de L’Hospital para tratar uma indeterminação.

Passo 2

Definimos
y = l(1+tfracaxr)^x
Tomando logaritmo natural, fica
ln y = x ,lnl(1+tfracaxr)
Quando xto+infty, temos a forma indeterminada +inftycdot 0. Para aplicar L’Hospital, reescrevemos como quociente:
ln y = lnl(1+tfracaxr)tfrac1x,
que é do tipo tfrac00.

Passo 3

Aplicamos a Regra de L’Hospital ao limite
limxto+inftylnl(1+tfracaxr)tfrac1x
Para isso, diferenciamos numerador e denominador separadamente em x.

Passo 4

Calculamos as derivadas:
ddxlnl(1+tfracaxr) =11+tfracaxcdotl(-ax^2r), ddxl(tfrac1xr) =-1x^2
Então, pela Regra de L’Hospital,
limxto+inftyln y =limxto+infty -ax^2l(1+tfracaxr)-1x^2 =limxto+inftya1+tfracax =a

Passo 5

Tendo limxto+inftyln y = a, voltamos da transformação logarítmica e obtemos
limxto+inftyy =limxto+inftyl(1+tfracaxr)^x =e^a

Resposta

e^a

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