Resolva a equação diferencial de 2^a ordem:
y^prime prime-y^prime-6 y=cos (2 x)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - y' - 6y = cos(2x)
O conteúdo é equações lineares de segunda ordem: vamos obter primeiro a solução complementar (homogênea) e depois uma solução particular (não homogênea).

Passo 2

A parte homogênea é
y'' - y' - 6y = 0,
cuja equação característica é r^2 - r - 6 = 0. Resolvendo,
r = 3 ou r = -2
Logo a solução complementar é
yc = C1 e^3x + C2 e^-2x

Passo 3

Para achar uma solução particular yp ao termo cos(2x), usamos o método dos coeficientes indeterminados. Como o forçante é combinação de cos(2x) e sin(2x), supomos
yp = Acos(2x) + Bsin(2x)

Passo 4

Calculamos as derivadas de yp:
yp' = -2A sin(2x) + 2B cos(2x),
yp'' = -4A cos(2x) - 4B sin(2x)
Substituindo na equação original,
yp'' - yp' - 6yp = (-4Acos(2x)-4Bsin(2x)) ;-;(-2Asin(2x)+2Bcos(2x)) ;-;6(Acos(2x)+Bsin(2x))
Agrupando termos de cos(2x) e sin(2x), obtemos
(-4A - 2B - 6A)cos(2x);+;(-4B + 2A - 6B)sin(2x) = (-10A - 2B)cos(2x) + (2A - 10B)sin(2x)

Passo 5

Igualamos ao forçante cos(2x), ou seja,
-10A - 2B = 1,
2A - 10B = 0
Da segunda equação vem 2A = 10B, logo A = 5B. Substituindo na primeira,
-10(5B) - 2B = 1 Longrightarrow -52B = 1 Longrightarrow B = -152, A = -552

Passo 6

Assim a solução particular é
yp = -552cos(2x) - 152sin(2x)
A solução geral da equação diferencial é a soma da parte complementar com a particular.

Resposta

y = C1 e^3x + C2 e^-2x - 552cos(2x) - 152sin(2x)

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