Calcule:
lim x +infty 1x sin cos (x)1+pi^2

Passo 1

O problema pede para calcular limxto+infty 1xsinl(tfraccos(x)1+pi^2r). O conteúdo essencial é análise de limite de função limitada dividida por x que cresce ao infinito, usando o teorema do confronto (squeeze).

Passo 2

Primeiro, notamos que -1<=cos(x)<=1. Dividindo por 1+pi^2 (que é positivo), temos
-11+pi^2<=cos(x)1+pi^2<=11+pi^2
Como a função sin(cdot) é crescente nesse intervalo pequeno, segue que
-sinl(tfrac11+pi^2r)<=sinl(tfraccos(x)1+pi^2r)<=sinl(tfrac11+pi^2r)

Passo 3

Agora, dividindo toda a desigualdade por x>0, obtemos
-sinl(tfrac11+pi^2r)x<=1xsinl(tfraccos(x)1+pi^2r)<=sinl(tfrac11+pi^2r)x
Como sin(1/(1+pi^2))xto0 quando xto+infty, pelo teorema do confronto concluímos que o limite desejado é 0.

Resposta

0

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