Calcule:
lim x 0(1+sin (x))^1raizx

Passo 1

O enunciado pede para calcular a seguinte limite quando x → 0⁺ do tipo indeterminado 1^infty:
(1+sin(x))^1/raizx
Vamos usar conhecimentos de formas indeterminadas, logaritmos e a regra de L’Hôpital.

Passo 2

Definimos
y = (1+sin(x))^1/raizx
Para lidar com a indeterminação, tomamos o logaritmo natural:
ln y = ln(1+sin(x))raizx
Quando x → 0, o numerador e o denominador vão a zero, gerando a forma 0/0.

Passo 3

Aplicamos a regra de L’Hôpital a
limxto0 ln(1+sin(x))raizx
Derivando numerador e denominador:
Numerador:
ddxl[ln(1+sin(x))r] = cos(x)1+sin(x),
Denominador:
ddx[raizx] = 12raizx
Então a nova razão é
limxto0 cos(x)/(1+sin(x))1/(2raizx) = limxto0 2raizx cdot cos(x)1+sin(x)
Quando x → 0, isso vai para 0.

Passo 4

Portanto temos
ln y to 0
e assim
y = e^ln y to e^0 = 1

Resposta

1

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