Encontre todas as assíntotas (horizontais, verticais ou oblíquas) das seguintes funções:
x^5+x^4+12 x^4+1

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as assíntotas (horizontais, verticais ou oblíquas) da função f(x)=x^5+x^4+12x^4+1. Vamos usar o conteúdo de funções racionais: 1) assíntota vertical vem de zeros do denominador, 2) assíntota horizontal vem da comparação de graus, 3) se o grau do numerador for um a mais que o do denominador, buscamos a oblíqua por divisão polinomial.

Passo 2

Primeiro, analisamos a existência de assíntotas verticais. Precisamos ver onde 2x^4+1=0. Como x^4>=0 para todo x real, 2x^4+1 nunca zera. Logo, não há assíntotas verticais no domínio real.

Passo 3

Em seguida, comparamos os graus de numerador e denominador para assíntotas horizontais: o grau do numerador é 5 e o do denominador é 4. Como 5>4, não existe assíntota horizontal. Em vez disso, há potencial para uma assíntota oblíqua.

Passo 4

Para achar a assíntota oblíqua, fazemos a divisão de x^5+x^4+1 por 2x^4+1. Dividindo, encontramos o quociente e o resto:
x^5+x^4+12x^4+1=12 x+12+-tfrac12 x+tfrac122x^4+1

Passo 5

Como o resto dividido por 2x^4+1 tende a zero quando xtopminfty, a assíntota oblíqua é a reta dada pelo quociente:

Resposta

Vertical: nenhuma
Horizontal: nenhuma
Oblíqua: y=tfrac12x+tfrac12

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