Encontre todas as assíntotas (horizontais, verticais ou oblíquas) das seguintes funções:
raiz[3]2+8 x^3

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todas as assíntotas (horizontais, verticais e oblíquas) da função f(x)=raiz[3]2+8x^3. O conteúdo envolve análise de domínio e limites no infinito para identificar possíveis assíntotas.

Passo 2

Primeiro, assíntotas verticais surgem onde a função não está definida ou tende a ±∞ em ponto finito. Como a raiz cúbica está definida para todo xinR, não há valores de x que causem descontinuidade ou explosão. Logo, não há assíntotas verticais.

Passo 3

Para assíntotas horizontais, calculamos limxto+inftyf(x) e limxto-inftyf(x). Como
limxto+inftyraiz[3]2+8x^3=+inftyelimxto-inftyraiz[3]2+8x^3=-infty,
esses limites não são finitos, então não há assíntotas horizontais.

Passo 4

Para achar assíntota oblíqua do tipo y=mx+b, calculamos primeiro
m=limxtopminftyf(x)x=limxtopminftyraiz[3]2+8x^3x

Passo 5

Usando fatoração e expansão em séries:
f(x)=raiz[3]2+8x^3=(8x^3)^1/3l(1+28x^3r)^1/3=2xl(1+14x^3r)^1/3

Passo 6

Como (1+u)^1/3approx1+u/3 para uto0,
f(x)=2xl(1+112x^3+o(1/x^3)r)=2x+16x^2+o(1/x^2)

Passo 7

Logo m=2. Em seguida,
b=limxtopminftyl(f(x)-2xr)=limxtopminfty16x^2=0

Passo 8

Portanto a assíntota oblíqua é y=2x+0, ou simplesmente y=2x.

Resposta

Não há assíntotas horizontais nem verticais. A única assíntota é a oblíqua y=2x.

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