Calcule:
lim x +infty(1-1x)^x

Passo 1

O enunciado pede
limxto+inftyl(1-tfrac1xr)^x
Isso é uma forma indeterminada 1^infty. Para resolver, vamos usar a estratégia de passar para o logaritmo e depois empregar o limite padrão
limtto0ln(1+t)t=1
além da continuidade da função exponencial.

Passo 2

Defina
y=l(1-tfrac1xr)^x
Tomando logaritmo em ambos os lados, vem
ln y = x ,ln!l(1-tfrac1xr)

Passo 3

Reescrevemos o produto como uma razão conveniente:
x,ln!l(1-tfrac1xr) = ln!l(1-tfrac1xr)tfrac1x
Quando xto+infty, temos tfrac1xto0, então podemos usar
limuto0ln(1+u)u=1
com u=-tfrac1x. Logo
limxto+inftyx,ln!l(1-tfrac1xr) = limuto0ln(1+u)u|u=-tfrac1x cdot(-1) = -1

Passo 4

Assim o limite do logaritmo é
limxto+inftyln y = -1
Pela continuidade de exp, concluímos
limxto+inftyy = exp!l(-1r)=e^-1

Resposta

1e

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