Calcule:
lim x -infty(1-2x)^x

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
limxto -inftyl(1 - 2xr)^x
Esse tipo de expressão se resolve bem usando a definição de exponencial via logaritmo e, se necessário, o lema de l’Hôpital.

Passo 2

Definimos
L = limxto -inftyl(1 - 2xr)^x
e passamos ao logaritmo para trazer o expoente para frente:
ln L = limxto -infty x,lnl(1 - 2xr) = limxto -inftylnl(1 - tfrac2xr)1/x
Agora temos uma forma tfrac00, pois ln(1-2/x)to0 e 1/xto0 quando xto -infty.

Passo 3

Aplicamos l’Hôpital ao quociente
limxto -inftyln(1 - 2/x)1/x ;stackrelH=; limxto -infty ddxl[ln(1 - 2/x)r] ddx(1/x) = limxto -infty 2x^2,11-2/x -1x^2 = limxto -inftyl(!-21-2/xr) = -2
Logo ln L = -2.

Passo 4

Se ln L = -2, então
L = e^-2

Resposta

e^-2

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