(1,0) Seja
o espaço vetorial real dos polinômios de grau menor do que, ou igual a 5, com coeficientes em
. Se
é definida por
então mostre que
é um isomorfismo.
Passo 1
O enunciado define o espaço vetorial
de todos os polinômios reais de grau
e o operador linear
A tarefa é mostrar que
é um isomorfismo, ou seja, que é bijetivo (injetivo e sobrejetivo).
Passo 2
Primeiro notamos que
é linear, pois para quaisquer
e escalar
vale
Passo 3
Para provar injeção, examinamos o núcleo de
. Se
, então
Isso é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem:
A solução geral é
para alguma constante
. Mas
também deve ser um polinômio; a única forma de um polinômio coincidir com
em todo
é ter
, ou seja,
. Logo
e
é injetivo.
Passo 4
Como
tem dimensão finita (
), um operador linear injetivo é automaticamente sobrejetivo. Logo
é bijetivo e, portanto, um isomorfismo.