(1,0) Seja P5 o espaço vetorial real dos polinômios de grau menor do que, ou igual a 5, com coeficientes em R. Se T: P5 P5 é definida por
T(p(x))=3 p^prime(x)+5 p(x), forall p(x) in P5
então mostre que T é um isomorfismo.

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial P5 de todos os polinômios reais de grau <=5 e o operador linear
Tcolon P5toP5, Tl(p(x)r)=3,p'(x)+5,p(x)
A tarefa é mostrar que T é um isomorfismo, ou seja, que é bijetivo (injetivo e sobrejetivo).

Passo 2

Primeiro notamos que T é linear, pois para quaisquer p,qinP5 e escalar alphainR vale
T(p+q)=3(p+q)' +5(p+q)=3p'+3q'+5p+5q=T(p)+T(q),
T(alpha p)=3(alpha p)' +5(alpha p)=alpha(3p'+5p)=alpha,T(p)

Passo 3

Para provar injeção, examinamos o núcleo de T. Se T(p)=0, então
3,p'(x)+5,p(x)=0,forall x
Isso é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem:
p'(x) + 53,p(x)=0
A solução geral é
p(x)=C,e^-tfrac53x,
para alguma constante C. Mas p também deve ser um polinômio; a única forma de um polinômio coincidir com C e^-53x em todo x é ter C=0, ou seja, p(x)equiv0. Logo
ker T=0,
e T é injetivo.

Passo 4

Como P5 tem dimensão finita ( dimP5=6), um operador linear injetivo é automaticamente sobrejetivo. Logo T é bijetivo e, portanto, um isomorfismo.

Resposta

T é um isomorfismo.

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